こんにちは！
沖縄は未だ梅雨空。
と、そんなことよりもすごいニュースが！
JAXAの探査機はやぶさ２が小惑星「りゅうぐう」から持ち帰った砂などから２０種類以上のアミノ酸が検出された、とのこと。
「生命の起源は宇宙」との説の裏付けとなる可能性も！
天然のアミノ酸５００種類程度の内、ヒトを構成するアミノ酸は２０種類。
どんなアミノ酸が含まれていたのか気になります。
JAXAの論文が待ち遠しい！！
さて。
「算数ってどこまでが範囲なんだろう・・・」と思ったりしませんか？
例えば「三角数列」を少し変えてみるだけで・・・
① １
３ ５
７ ９ 11
13 15 17 19
・・・
②
１ ３ ６ 10 ・・
２ ５ ９ 14 ・・
４ ８ 13 19 ・・
７ 12 18 ・・・
11 ・ ・ ・・・
これらの問題は
①‐1「上から８段目左から４番目の数を求めなさい」
（②も同様）
①‐2「上から８段目の数の和を求めなさい」
のように使われますが、どうでしょう。
「等差数列」や「等差数列の和」も「中学受験算数」では当然のように扱われることで、このような問題も成り立っています。これでも「基本問題」の部類に入ります。
例えば①‐1は
８段目の１つ前までの、１段目から７段目までの数の個数は
（１＋７）×７/２＝２８（個）
８段目の左から４番目なので
２８＋４＝３２（個）
奇数の数列は、□を個数とすると
２×□－１
〔１＋２×（□－１）とする塾もあります。高校数学「等差数列の一般項」と同じ求め方ですが、算数では「植木算方式」などと呼んだりもします〕
よって
２×３２－１＝６３
と、結果高校数学「群数列」である問題も多数出題されています。
①‐2は
「８段目の数までの和から７段目までの数の和をひく」「８段目の一番左の数から一番右の数までの和を求める」などで求めるのが一般的です。
ここにも規則性（立方数１，８，２７，・・・）がありますが、そのような規則性を敢えて見つけさせる問題もあります。
①‐1と同じく、②であれば
「８段目の左から４番目」は「１１段目の一番左から始まる右斜め上４つ目の数」を求めれば良いことから、基本の「三角数」を用いて
（１＋１０）×１０/２＝５５
５５＋４＝５９
で終わりです。
いくらでも応用が利き、実際いろいろな問題が作られています。
そして
『左右に等しく水が流れるパイプがあります。
ここから１㍑の水を入れると
↓１㍑
｜
／＼
／＼／＼
／＼／＼／＼
／＼／＼／＼／＼
／＼／＼／＼／＼／＼
／＼／＼／＼／＼／＼／＼
／＼／＼／＼／＼／＼／＼／＼
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
A B
A、Bからは何㍑の水が出ますか。』
のような問題・・・
これは
「パスカルの三角形」
を基本としています。
「パスカルの三角形」とは
① 1
② 1 1
③ 1 2 1
④ 1 3 3 1
⑤ 1 4 6 4 1
⑥ 1 5 10 10 5 1
⑦ 1 6 15 20 15 6 1
⑧ 1 7 21 35 35 21 7 1
⑨ 1 8 28 56 70 56 28 8 1
⑩・ ・ ・ ・
のように、一番上と両端はすべて「１」
３段目からは１以外、上の２つの数字の和で作られる三角形のことです。
みなさんも１度は目にしたことがあるかと思いますが、これはパスカルが最初に考えたものではありません。もっと古くから研究されていたものなのですが、「パスカルの三角形」として知られています。
「中学受験算数」では、３段目から現れる、左（右）から３番目の数字の並びが、基本の「三角数」になっていることで最も良く使われます。
これはまず
１段目は１
２段目の数の和は２
３段目の数の和は４（２×２）
４段目の数の和は８（２×２×２）
・・・
のように、ｎ段目の数の和が〔２の（n－１）乗〕となっていることと併せて答えを求める問題になっています。（算数では～乗ではなく、～個かけ合わせる、となります）
これも規則性の一つです。
「パイプの問題」のA、Bの段は「パスカルの三角形」で言えば８段目ですが、
問題に応じて、下図の最初の分岐a，bから出る水を１段目とすると
↓１㍑
｜
／＼
ここ → a b
（a，bで１㍑の水は１：１に分かれ、更にa，bから、ともに１：１に分かれ・・・結果「パスカルの三角形」が利用できることが分かります）
A、Bは７段目にあたり、
７段目のすべての数の和は２を７個かけ合わせ
２×２×２×２×２×２×２＝１２８
左から３番目の数字が表れるのは２段目からなので
７－１＝６（２段目から７段目までの段数）
つまり、６番目の「三角数」
（１＋６）×６/２＝２１
よって、求める答えは
２１/１２８㍑
となります。
次に、Bを求めるには、「左から４番目の数は、その左上の数までの右斜め上の数（左から３番目の数＝三角数）の和になっている」こと（これも規則性の一つです）を用いれば、簡単（？）に求められます。
７－１－１＝５（左から３番目の数（三角数）を５つたす※）
１＋３＋６＋１０＋１５＝３５
よって求める答えは３５/１２８㍑となります。
他にも、考え方、求め方は、いろいろな規則性を見つけることから始まります。
中学受験後半ではさまざまなことを、「合格」させるために「知識」とする必要もありますが、「教える側」は、生徒が自ら見つけ出すまでの時間と、「知識」として覚えさせる時期とのバランスを、常に考えなければいけません。
「パスカルの三角形」には
まだまだいろいろな「規則性」や「数列」が隠れています。
次回、いくつか簡単なものを紹介しながらお話を進めていきます♬
次は６月２３日頃の更新予定♪
では！
※：１＋３＋６＋１０＋１５＝３５
など、「三角数の和」
１，４，１０，２０，３５，・・・
を、「三角錐数」「四面体数」などと言います。
「パスカルの三角形」で左（右）から５番目の数
「三角錐数の和」
１，５，１５，３５，７０，・・・
を「五胞体数」とも言います。
前回の問題の解答：
題意より、１９８５，６０を自然数ｎ（ただし１＜ｎ＜６０）で割ったときの商をそれぞれa，b、余りをｒ（a，b，rは自然数）とすると
an＋ｒ＝１９８５
bn＋ｒ＝６０
辺々ひいて
n（a－b）＝１９２５
よってｎは１９２５の、６０より小さい１を除く約数である。
１９２５＝５＾2×７×１１
（５＾2は５の２乗を表すものとします）
から、
ｎ＝５，７，１１，２５，３５，５５
６０を上のｎで割った余りｒはそれぞれ
ｒ＝０，４，５，１０，２５，５
となるが
ｒ≠０より、ｒ＝０を除く５つの余りの数ｒでそれぞれ６０を割ったとき、割り切れずまた余りがあるものはｒ＝２５のみ。
（６０だけを調べれば十分です）
よって求めるｎは
ｎ＝３５
ここで
１９８５÷３５＝５６・・・２５
６０÷３５＝１・・・２５
１９８５÷２５＝７９・・・１０
６０÷２５＝２・・・１０
となり、これは確かに題意を満たす。（解答終わり）
尚、ブログ内の入試問題はすべて使用許諾取得済みです。