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追記
「算数と数学３２ 分配算」に掲載した「オマケ問題」の解説を、次回（「算数と数学３３」）掲載と書きながら掲載していませんでした。誠に申し訳ありません。
（内容的に長いので別の回に解説を行う予定とする旨を書き忘れていました。）
遅くなってしまいましたが、「オマケ問題」の解説を後半に掲載しております。
そのため、かなり長いものとなってしまいましたが、最後までお楽しみください。
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こんにちは！
今回は、和一定、差一定の基本問題と年齢算の基本問題についてお話を進めていきます。
和一定、差一定の問題とは、その名の通り、和や差が変わらず一定になっている問題のことです。
算数では、変わらないところに着目する（目をつける）問題が数多くあります。その逆に、変わったところに着目し、なぜ変わったのかを考えさせる問題もあります。それらの違いをはっきりさせるためにも、変わらないところに着目させる問題を基本部分から身に付けておかなければいけません。
それでは基本となる例題をいくつかあげていきます。
例９（和一定）
(１)お姉さんと太郎くんは、カードを５：１の割合で持っていましたが、お姉さんが太郎くんにカードを１０枚渡したので、持っているカードの枚数は５：３になりました。
今太郎くんは何枚のカードを持っていますか。
(２)お姉さんと太郎くんは、カードを５：１の割合で持っています。もしお姉さんが太郎くんにカードを１０枚渡すと、持っているカードの枚数は５：３になります。
今太郎くんは何枚のカードを持っていますか。
この(１)、(２)は同じ解き方ですが、「今」と言う言葉での間違いをしないように(１)、(２)としました。
(１)の「今」は、お姉さんが太郎くんにあげた「あとの」枚数で、(２)の「今」は、お姉さんが太郎くんにあげる「前の」枚数ですね。
この問題の特徴は、お姉さんが太郎くんにカードを渡しても、二人のカードの枚数の「和(合計)」は変わらない、と言うところです。
よって、その「和」に着目して、最初の５：１の和５＋１=６と、カードのやり取りをした後の５：３の和５＋３=８の、６と８の最小公倍数２４に和を揃えます。つまり
５：１の和の６は、その４倍が２４なので、それぞれに４をかけて２０：４とします。
５：３の和の８は、その３倍が２４なので、それぞれに３をかけて１５：９とします。
これによって、２０－１５=５（９－４=５でも構いません)
これを⑤とすると、この⑤が１０枚となることが分かります。
よって
⑤→１０枚
①→２枚
このことから、(１)ならば、あとの方の〔○の１５〕(まる付き文字です。以下同)と⑨を、(２)ならば、最初の方の〔○の２０〕と④を求めれば終わりです。
（１）お姉さん３０枚、太郎くん１８枚
（２）お姉さん４０枚、太郎くん８枚
がこの問題の答えです。
ところで、次のような問題も和一定の問題と言えますが…
お姉さんは４０枚、太郎くんは８枚のカードを持っています。
お姉さんが太郎くんに何枚かのカードを渡したところ、お姉さんと太郎くんのカードの枚数の比が、５：３になりました。お姉さんは太郎くんに何枚のカードを渡しましたか。
この問題は、よく読めば、最初の二人の和(合計)が分かっているので、結果として「分配算（比分配）」と同じですね。その和４８（４０＋８）枚が、⑧（⑤＋③）に当たるので、あとは簡単です。
一つのことに捉われず、問題の本質を見抜ける力が欲しいところです。
例１０（差一定）
お姉さんは２７枚、太郎くんは１５枚のカードを持っています。
（１）今日、お姉さんと太郎くんは、お母さんに同じ枚数のカードを買ってもらったので、お姉さんと太郎くんの持っているカードの枚数の比は５：３になりました。お母さんに買ってもらったカードの枚数は一人何枚ですか。
（２）お姉さんと太郎くんが、それぞれ同じ枚数だけ弟にカードを渡したところ、お姉さんと太郎くんのカードの枚数の比は、２：１になりました。弟は二人から合わせて何枚のカードをもらいましたか。
例１１（差一定）
お姉さんと太郎くんの持っているカードの枚数の比は９：５です。
（１）今日、お姉さんと太郎くんは、お母さんに一人３枚ずつカードを買ってもらったので、お姉さんと太郎くんの持っているカードの枚数の比は５：３になりました。今、お姉さんと太郎くんはそれぞれ何枚のカードを持っていますか。
（２）お姉さんと太郎くんが、それぞれ３枚ずつ弟にカードを渡すと、お姉さんと太郎くんと弟のカードの枚数の比は、６：３：２になります。今、弟は何枚のカードを持っていますか。
例１０も例１１も、姉、太郎くんの二人とも同じ枚数だけカードが増えたり減ったりしています。このとき、二人のカードの枚数の差（違い）は変わりません。この差の部分に着目するのが「差一定」の問題の特徴です。
例１０（１）は、二人の最初の枚数が分かっているので、
２７－１５＝１２
この１２枚が、⑤－③＝②の、②に当たります。よって、
②→１２枚
①→６枚
⑤→３０枚
③→１８枚
となり、お母さんに買ってもらった、つまり増えた分が
３０－２７＝３（枚）となります（１８－１５＝３でも良い）。
（２）も基本は変わりません。今度は二人のカードの枚数が減っただけです。
２７－１５＝１２
②－①＝①
①→１２枚
②→２４枚
１５－１２＝３（２７－２４＝３）
問題文をしっかり読んで、
３×２＝６
弟は二人から合わせて６枚のカードをもらったことになります。
例１１も基本は同じく「差（違い）」が変わらない問題です。ただ、「差」の部分の比を揃える必要があるため、例１０より少し手間がかかります。
（１）
⑨－⑤＝④
❺－❸＝❷
４と２の最小公倍数は４なので、❷を④にするために、●文字の数をそれぞれ２倍すると○で表せます。
お姉さんは⑩、太郎くんは⑥になりますね。
これで、⑩－⑨＝①（⑥－⑤＝①）が、増えた３枚と分かります。
買ってもらった、ので、あとの⑩と⑥が「今」の姉と太郎くんの枚数になります。
①→３枚
⑩→３０枚
⑥→１８枚
姉は３０枚、太郎くんは１８枚になったことが、このようにして求められます。
（２）も解き方はまったく変わりません。姉、太郎くんの二人の枚数が減っただけです。
この問題は、６：３：２の、姉と太郎くんに当たる数字の６：３を用い、最初の９：５の
⑨－⑤＝④と、❻－❸＝❸の、４と３の最小公倍数１２に合わせると後半が簡単になります。
９：５はそれぞれ３倍し、〔□の２７〕と〔□の１５〕
６：３はそれぞれ４倍し、〔□の２４〕と〔□の１２〕
とすることで、差に当たる部分を見て、
〔□の３〕→３枚
〔□の１〕→１枚
６：３：２＝２４：１２：８から
〔□の８〕→８枚
あとは「今」に気を付けて
８－３×２＝２とするだけです。
さて、ところが、「比」の基本は、なるべく簡単にして用いることが薦められているので、姉と太郎くんの比６：３を２：１にした場合、次のような解き方になります。
⑨－⑤＝④
❷－❶＝❶
最小公倍数の４に合わせると、
❷と❶は、⑧と④になるので、
⑨－⑧（⑤－④）＝①
①→３枚
となり、姉と太郎くんがそれぞれ３枚ずつ弟に渡すことで、３人の比が６：３：２になることが分かります。
上の①→３枚から求められる⑧→２４枚と④→１２枚は、二人がそれぞれ３枚ずつ渡したものとしたときの枚数なので、２４枚が『６』の割合、１２枚が『３』の割合となります。
弟の枚数は『２』の割合なので、８枚となりますが、これは姉と太郎くんから３枚ずつもらったあとの枚数です。よって、「今」弟が持っている枚数は
８－３×２＝２
となります。
「比」を簡単にすることで後半難しくなりますが、文をしっかりと読み解く力が試されます。
さて、これらの「和一定」「差一定」の問題は、○○算の中に含める必要はありません。○○算に含まれる問題は重ねて教えれば良いだけです。
和が変わらない問題は「和一定」、差が変わらない問題は「差一定」の問題として覚えたり、他の解き方がないかなど、いろいろと応用が効くようにする方が大切です。また、問題を解くときには、変わらないところはないか、をまず考えることが基本なので、「和一定」「差一定」と言う言葉を覚えておくこと自体が役に立ちます。
算数の問題を、無理やり○○算の中に押し込める必要はなく、覚えやすく、解きやすくするために名前を付けているだけです。
次に「年齢算」の「基本」問題を見てみましょう。
例１２（年齢算）
いとこのお姉さんは２７歳、いとこの次郎くんは１５歳です。
（１）ー１
二人の年齢の比が５：３になるのは何年後ですか。
（１）ー２
二人の年齢の比が２：１だったのは何年前ですか。
（２）ー１
二人の年齢の比が５：３のとき、次郎くんは何歳ですか。
（２）ー２
二人の年齢の比が２：１のとき、次郎くんは何歳ですか。
例１３（年齢算）
いとこのお姉さんといとこの次郎くんの年齢の比は９：５です。
（１）３年後に二人の年齢の比は５：３になります。今、次郎くんは何歳ですか。
（２）３年前、二人の年齢の比は２：１でした。今次郎くんは何歳ですか。
もう解説は不要ですね。例１２、１３は、例１０、例１１とまったく同じ問題であることが分かります。
例１２（２）は、何年後か何年前かが分かりませんが、これまでの解き方であれば何ら問題はありません。
が、線分図を用いる場合、図のかき方が違うので、増えるのか減るのかが分からないと図がかけません。さて、どうしましょう。
例えば小さい方の年齢が１歳のときには、それに対してもう一方は何倍にも大きくなることから、過去に戻ると小さい方の割合が小さく、未来では小さい方の割合が大きくなることも、線分図を用いる場合にはここで覚える必要があります。
例１２（２）ー１は、例えば２７×３/５=１６.２。実際の１５歳の方が小さいので、この割合を増やすために未来と考えます（増える線分図）。
例１２（２）ー２は、例えば２７×１/２＝１３.５。実際の１５歳の方が大きいので、この割合を減らすために過去と考えます（減る線分図）。
なかなか難しいですね。まぁ図が違っていたらかき直せば済むことですが、本来このようなことが分かっていないと図はかけません。
「年齢算」と言われるものの「基本」は「差一定」の問題です。
ただし、年齢算特有の問題もあることで、敢えて「年齢算」と言う言葉が用いられています。
それではこれまでの問題の「線分図」を紹介していきましょう。「線分図」はとても役に立つ場面もあるので、読み取り能力を高めた後に「線分図」のかき方も学んでいくことが理想です。
ところで。
例９の「和一定」、例１０、例１１の「差一定」の問題を「倍数算」に入れ、例１２や１３を「年齢算」に入れる場合もありますが。。。良く読めば同じ問題と分かります。
そう言えば、前回の「比分配」のような問題も「倍数算」に入れている塾もあるようです。そうなると「倍数算」って何種類あることになるのでしょう。～倍のような問題を「倍数算」としたら、何でもかんでも「倍数算」になってしまいますね。
これではどのような問題をどのように解くか、子供達が分からなくなるのは当然でしょう。
繰り返しになりますが、本質を見抜く力を養うことを目的とせず、ただ「○○算はこう解くんだ」などの教え方では意味がありません。
「○○算」と言うもの自体、特に今では曖昧な分類と教えられ方になっているのが現状です。今回このブログを書くにあたっていろいろと調べたのですが、どれだけ意味不明な算数があるか検討もつきません。今、算数の世界があり得ないほど混沌としています。
ーーーーー追記ーーーーー
遅くなってしまいましたが、「オマケ問題」の解説です。
オマケ
例８（差分配）
姉、太郎くん、弟は合わせて５０枚のカードを持っています。
今３人がそれぞれ持っているカードから、お姉さんは太郎くんに６枚渡し、太郎くんは弟に５枚渡し、弟はお姉さんに２枚渡したら、お姉さんと太郎くんは同じ枚数に、弟だけは１枚少なくなりました。
姉、太郎くん、弟がはじめに持っていたカードの枚数はそれぞれ何枚ですか。
この問題は、文をしっかり読むことの大切さが良く分かる問題になっています。
最後の部分の
「お姉さんと太郎くんは同じ枚数に、弟だけは１枚少なくなりました。」
を読み取れば、弟があと１枚増えることで３人が同じ枚数になることが分かります。よって
（５０＋１）÷３＝１７
これが、最後の姉と太郎くんの枚数となり、弟はこれより１枚少ないので１６枚になります。
ここをしっかりと読み取り、最初はただの「差分配」の問題である、と気付けない限り解けない問題です。何も読まずに初めから「線分図」などをかくようになることがどれだけの弊害となるか、良く分かる例とも言えます。
（例８（差分配）←この問題はここに書いているのですぐに気付けたと思いますが、何もない状態で解いた場合、すぐに「差分配」と気付けるか、がポイントですね。）
この後は
「お姉さん」は、太郎くんに６枚渡し、弟から２枚もらった結果が１７枚なので、
太郎くんから６枚返してもらい、弟に２枚返せば元に戻ります。よって「お姉さん」は
１７＋６ー２＝２１
以下同様に、
「太郎くん」は、お姉さんから６枚もらい、弟に５枚渡した結果が１７枚なので
１７ー６＋５＝１６
「弟」は、太郎くんから５枚もらい、姉に２枚渡した結果が１６枚なので
１６ー５＋２＝１３
これで、それぞれが最初に持っていたカードの枚数が出ました。
３人合わせて５０枚になっていることも確かめます。
さてここで、「差分配」に気付き、姉と太郎くんが１７枚、弟が１６枚と分かった後、果たして「線分図」は必要でしょうか。
「お姉さん」は、太郎くんに６枚渡し、弟から２枚もらった結果が１７枚なので、
太郎くんから６枚返してもらい、弟に２枚返せば元に戻る。
ことが分からない限り「線分図」」すらかけません。と共に、上のことが分かった場合、結局線分図などかかなくても解けてしまいます。
小４までの生徒には、このようなタイプの問題をたくさん解かせることが後々の大きな力になります。そのときに最も重要なことは、気付く力、読み取る力を最大限に高めることを目的とすることです。
「線分図」や「面積図」など、算数特有の解き方はとても有効なアイテムであることは確かですが、初めから「～図」ありき、では、せっかくの「脳」力を鍛える時期を失ってしまい、「脳」力がどんどん削られてしまいます。これは中学以降の力にも影響してしまうことなので、とても大きな問題です。
有効なアイテムである「線分図」や「面積図」などは、読み取る力を養った後でも十分に間に合います。それらは徐々に、少しずつ、かき方や使い方を覚えていけば良いことです。
まずは文をしっかりと読む癖を付けていくことを大切にして欲しいと願っています。
ーーーーー追記終了ーーーーー
さて、次回更新は１０月１７日（木）頃の予定ですが、もしかすると２４日にずれ込むかもしれませんのでよろしくお願いします。
それではまた！！
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