こんにちは！
前回「数學舎オリジナル問題」「整数」の単元から２題紹介いたしました。
後半に記述解答を掲載していますが、この「整数」と言う単元について、もう少し詳しくお話をしたいと思います。現高校２年生以下の方は読んでおいて欲しいものです。
さて、現高校３年生までの現行課程では、
現行課程 数学Ⅰ（３単位）
(1)数と式(2)図形と軽量(3)二次関数(4)データの分析
現行課程 数学A（２単位選択）
(1)場合の数と確率(2)整数の性質(3)図形の性質
となっており、数学Ⅰでは全単元履修することで３単位、数学Aについては、名目２単位実質３単元の授業が行われることも多く、多数の高校が(1)～(3)すべてを学ぶようになっています。
さて、新課程ではどのようになるのでしょう。
新課程 数学Ⅰ（３単位）
(1)数と式(2)図形と軽量(3)二次関数(4)データの分析
新課程 数学A（２単位選択）
(1)図形の性質(2)場合の数と確率(3)数学と人間の活動
数学Ⅰにおいては、(1)(4)の一部内容の変更はありますが、大きく変わることはありません。
問題は数学Aです。
(2)整数の性質
と言う単元（大項目）は消えてしまいました。
では
(3)数学と人間の活動
とは一体何でしょう？
現行課程でも「数学活用」（数学Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ａ,Ｂ,数学活用）と言うものが存在し、その中に
(1)数学と人間の活動(2)社会生活における数理的な考察
の２単位が入っています。
え？そんなのやった覚えないよ？と言うのも無理はありません。
現行課程では「数学」は全１８単位ですが、２単位までは減じて良いことになっていて、標準１６単位。つまりほとんどの高校が扱っていない幻の単元となっています。
その
「数学活用」の内容が、新課程では、数学A、B、Cに以下のようにそれぞれ振り分けられることになりました。
新課程 数学Ａ (3)数学と人間の活動
新課程 数学Ｂ (3)数学と社会生活
新課程 数学Ｃ (3)数学的な表現の工夫
この内、Ｂ(3)とＣ(3)は無視して構いません。まずほぼすべての高校で履修しないことになるでしょう。
しかし、
数学Ａ(3)数学と人間の活動
これがかなりやっかいな単元になってしまいました。
実はこの中に、現行課程では「整数の性質」に含まれていた
・整数の約数や倍数
・ユークリッド互除法
・二進法
などを「扱うものとする」と示されています。
すなわち、現行課程「整数の性質」と言う大項目は消えましたが、
現行課程「数学活用」(1)数学と人間の活用
の内容を変更し、
新課程「数学Ａ (3)数学と人間の活動」
の中に「整数の性質」は隠され、密かに生き残っているのです。
現在、この
数学Ａ (3)数学と人間の活動
の中の、「整数の性質」だけは授業として行っている高校が多数あります。その理由には
「他の単元と関わることがあり必要だから」
「実際の大学入試で各大学がどのようにこの単元を扱うのかはふたを開けてみないとわからないから」
等々、各高校それぞれの判断で行われているのが実情です。
では現状（数学Aは名目２単位実質３単元）とほとんど変わらないじゃないか、と思う方も多いのですが、大学入試においてはしばらくは負担が増加するでしょう。
と言うのも、現在「数学A(3)図形の性質」は高校では学んでも、大学入試においてそれを重視している、または必答にしている大学は少なく、受験勉強の時間をさほど取られることはありませんでした（受験する大学によって変わります）。
しかし新課程から重視する大学が増える可能性があります。ただこれは可能性であり、確かなことではありません。つまり受験勉強としての時間をどのように振り分けるか、の問題が現高校２年生からの数年は「不明」のまま続くことになります。
例えば「算数と数学２２～２４」に掲載した「数學舎オリジナル問題第１問～第３問」のような問題が出題されるようになった場合、時間制限内で記述解答ができる実力をつけるには、とても多くの時間が必要となります。
また、整数論は現状大雑把に分けると
①ほぼ毎年出題される大学②何年かに１回出題されるような大学③ほぼ出題しない大学
に分類され、更に難易度も大学によってまったく違います。
つまり志望大学によって、受験勉強としての時間の調整が必要な単元となっています。
その「整数の性質」は、「実際の大学入試で各大学がどのようにこの単元（数学Ａ (3)数学と人間の活動）を扱うのかはふたを開けてみないとわからない」のではありますが、予測として「整数の性質」だけは「現状維持」の可能性が高いとされています。
毎回「課程が変わった数年は生徒の負担が増加」しますが、今回の新課程では数学の変更点が多岐にわたり存在し、いつも以上に広範囲においての「学び」を深める必要があるのです。
数学Ⅰ、Ａについて更に詳しく、また数学Ｂや、ⅢとＣについてもお話したいところですが、長くなり過ぎたのでそれはまたの機会に。
それでは先週紹介した、「数學舎オリジナル問題」「整数」２題の記述解答例を楽しんでください♬
尚、解答内では 「∵（なぜならば）」の記号を用いています。
第１問
６６７ｘー４３５ｙ＝８７をみたす２桁の整数ｘ、ｙの組をすべて求めよ。
（２桁の整数とは１０以上９９以下の整数を示します）
第２問
①３より大きい素数はすべて、適当な整数ｎを用いて、６ｎ±１の形で表されることを示せ。
②自然数a、b、cは、 a^2+b^2=c^2
（えー２じょう たす びー２じょう いこーる しー２じょう）
をみたすものとする。
このとき、a、b のどちらか一方が３より大きい素数ならば、もう一方は必ず１２でわり切れることを示せ。
第１問
６６７ｘー４３５ｙ＝８７‐‐‐‐‐‐①
ユークリッド互除法より
６６７÷４３５＝１・・・２３２
４３５÷２３２＝１・・・２０３
２３２÷２０３＝１・・・２９
２０３÷ ２９＝７
よって、６６７と４３５の最大公約数は２９
ここで、右辺８７も
８７÷２９＝３より２９の倍数。よって①の両辺を２９でわり、
２３ｘー１５ｙ＝３‐‐‐‐‐‐②
②をみたすｘ，ｙの組は①をみたすので、ユークリッド互除法より
２３÷１５＝１・・・８
⇔ ８＝２３ー１５×１‐‐‐‐‐‐③
１５÷ ８＝１・・・７
⇔ ７＝１５ー８×１‐‐‐‐‐‐④
８÷ ７＝１・・・１
⇔ １＝ ８ー７×１‐‐‐‐‐‐⑤
④を⑤の７に代入し
１＝８－（１５ー８×１）×１
＝８×２ー１５×１‐‐‐‐‐‐⑥
③を⑥の８に代入し
１＝（２３ー１５×１）×２ー１５×１
＝２３×２ー１５×３
２３×２ー１５×３＝１の両辺に３をかけ
２３×６ー１５×９＝３‐‐‐‐‐‐⑦
②、⑦の式を用い、辺々ひくと
２３ ｘ ー１５ ｙ ＝３
ー) ２３ ×６ ー１５×９ ＝３
２３(ｘー６)ー１５(ｙー９)＝０
⇔２３(ｘー６)＝１５(ｙー９)
２３と１５は互いに素なので、整数ｋを用いて
ｘー６＝１５ｋ
⇔ｘ＝１５ｋ＋６
ｙー９＝２３ｋ
⇔ｙ＝２３ｋ＋９
と表せる。
ｘ，ｙは２桁の整数なので
１０≦１５ｋ＋６≦９９
⇔４≦１５ｋ≦９３
⇔１≦ｋ≦６‐‐‐‐‐‐⑧
１０≦２３ｋ＋９≦９９
⇔１≦２３ｋ≦９０
⇔１≦ｋ≦３‐‐‐‐‐‐⑨
⑧、⑨を同時にみたす整数ｋの値は
ｋ＝１，２，３
よって①をみたす２桁の整数ｘ，ｙの組は
(ｘ，ｙ)＝(２１，３２) (３６，５５) (５１，７８)
（解答終わり）
第２問
①自然数の集合は、自然数ｋでわった余りの
０，１，２，３，・・・・，Ｋ－１ですべてを分類することができる。
よって題意より、４以上の自然数を６でわった余り、すなわち
６ｎ、６ｎ±１、６ｎ±２、６ｎ＋３（ｎは自然数）
で、４以上のすべての自然数を表すことができる。
このとき
６ｎは６の倍数
６ｎ±２＝２(３ｎ±１)は２の倍数（∵３ｎ±１は整数）
６ｎ＋３＝３(２ｎ＋１)は３の倍数（∵２ｎ±１は整数）
となり、素数が１と自分自身でしかわれないことから、３より大きい素数のなり得る自然数の形は、６ｎ±１だけである。
（証明終わり）
②ａを３より大きい素数とすると
ａ＾２＝ｃ＾２ーｂ＾２（＾２は２乗を示します）
＝(ｃ＋ｂ)(ｃ－ｂ)＞０
ｃ＋ｂ＞０よりｃ－ｂ＞０
よってｃ＞ｂ＞０
かつｃ＋ｂ＞ｃ－ｂ
ａは素数より、ａ＾２の約数は、１，ａ，ａ＾２のみなので
ａ＾２＝ａ＾２×１，ａ×ａと表せる。
よって
ｃ＋ｂ＝ａ＾２‐‐‐‐‐‐①
かつ
ｃ－ｂ＝１‐‐‐‐‐‐②（∵c＋b＞c－b）
②よりc＝b＋１
これを①に代入すると
２b＋１＝ａ＾２
⇔b＝（ａ＾２ー１）/２‐‐‐‐‐‐③
ここで①より、素数はすべて６n±１に含まれることから、
a＝６n±１（nは適当な自然数）として題意を示せば良い。
このとき③を用いて
b＝｛（６n±１）＾２ー１｝/２
＝１８n＾２±６n
＝６n（３n±１）
nが偶数のとき６nは１２の倍数
nが奇数のとき３n±１が偶数となるので６（３n±１）は１２の倍数。
よってすべての自然数ｎにおいて
b＝６n（３n±１）は１２の倍数となる。
これは、bを３より大きい素数としても同様である。
よって題意（a、b のどちらか一方が３より大きい素数ならば、もう一方は必ず１２でわり切れる）は示された。
（証明終わり）
さぁどうでしたか？
第２問②は３０年以上前に作った問題なのですが、未だに大学入試で見当たりません（見落としがあるかもしれませんが）。そろそろ素数大好きな京都大学あたりで出してくれないかなぁ。。。と思っています。
さて、次回は３月１８日（月）
【算数と数学２２～２８】に掲載した【数學舎オリジナル問題第１問～第７問】の解答
および、特別企画【オマケ問題】の解答と簡単な解説を掲載予定です。
どうぞお楽しみに！
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