こんにちは！
今年は次から次へと台風が発生し、今また台風１４号が沖縄の東に。
今回は沖縄への影響は少なそうですが、進路によってはまだ油断できません。
万全な備えを心がけたいと思います。
さて、前回「二項定理」
（ｘ＋ｙ）＾n
＝nC0ｘ＾n＋nC1ｘ＾n-1ｙ＋nC2ｘ＾n-2ｙ＾2＋・・・＋nCn-1ｘｙ＾n-1＋nCnｙ＾n・・・①
（nC0＋nC1＋nC2＋・・・＋nCn-1＋nCn＝２＾n項※、すべての項がｎ個の文字の積）
が、場合の数を基本としていることを学びました。
この「二項定理」の中でも
（１＋ｘ）＾n＝nC0＋nC1ｘ＋nC2ｘ＾2＋・・・＋nCn-1ｘ＾n-1＋nCnｘ＾n・・・②
は、様々なところで良く用いられます。
（１は何乗しても１なので省略しています）
例えば上の※
nC0＋nC1＋nC2＋・・・＋nCn-1＋nCn＝２＾n項
は、２乗、３乗、・・・のときと同様に、
（ｘ＋ｙ）の２項がｎ回かけ合わされているので２＾n項と明らかなのですが
②を用いても証明できます。
②のｘに
ｘ＝１を代入するだけ。
あら不思議。
左辺は（１＋１）＾n＝２＾n 右辺はｘ、ｘ＾2、ｘ＾3、・・・すべて１になるので nC0＋nC1＋nC2＋・・・＋nCn-1＋nCn となり、※が成り立つことが分かります。
この②が他にどのようなところで使われているかは、もうしばらくお待ちを。
代表的なものを紹介しますので楽しみにしておいてください♪
おや。
「二項定理」①を良く見ると、灘中の問題の「数学」での解き方が見えてきます。
「二項定理」①より
ｘ＝１０，ｙ＝１とすると
１１＾100＝（１０＋１）＾100
＝100C0１０＾100＋100C1１０＾99＋・・・＋100C95１０＾5＋100C96１０＾4＋100C97１０＾3＋100C98１０＾2＋100C99１０＋100C100
（１は何乗しても１なので省略しています）
としてしまえば簡単ですね。
右の６個の数字は
100C5＝７５２８７５２０
100C4＝３９２１２２５
100C3＝１６１７００
100C2＝４９５０
100C1＝１００
100C0＝１
の結果だった訳です。
（100C95＝100C5、100C96＝100C4、・・・以下同）
あとは順に１０＾5、１０＾4、・・とかけていくだけ。
このことから「算数と数学１１」で示した解答（予測）は正しかったようです。
「算数」で考えるより先に、こちらを思い付いた人が多かったのではないでしょうか。
「算数」は「規則性を予測」することで解を求めるのに対し、「数学」では「すでに証明されたものを用いて」解を求める。
と、まったく「解き方」として異なります。
ただ一つの共通部分は「必ず過去に学んだことを用いて問題はできている」と言うことだけです。
が。
ここで問題が発生します。
このタイプの問題では
「一番上と両端は１，その他は上の隣り合った２数の和」
のようにしか書かれていません。
「パスカルの三角形」（一番上に１が１個あるもの）では
「ｎ段目の左からｋ番目の数がn-1Ck-1である」
ことは良く知られていますが、これを既知として用いて良いのでしょうか。
いや、まだその証明は済んでいません。
「パスカルの三角形」のｎ段目の数の和が２＾n-1となることも、上で証明できたと思いきや、そもそもこれも「二項定理」を用いています。
「二項定理」で簡単に答えが求められる、と思った人はそれで「正解」ではあります。
が、なぜ「二項定理」が「パスカルの三角形」に使えるのでしょう。
それではその「パスカルの三角形」の最も基本たる謎を解き明かしていきましょう。
みなさんもぜひ、その証明方法を考えてみてください。
さてここで、次回掲載する証明のため
「次数」「単項式・多項式」「整式」「降べきの順（昇べきの順」「係数」「定数項」
等の用語の説明を簡単に。
「次数」とは
ab＾2、ｘ＾3などの、かけられている文字の個数のことを言います。
中学数学では、上の２つはどちらも「次数」は３であり、３次式、などとも言います。
高校数学になると「１つの文字に着目」することにより、
ab＾2を
「aについて着目」すると、次数は１（１次式）
「bについて着目」すると、次数は２（２次式）
となります。
このような「積」だけで作られている文字式を「単項式」と言い、
ｘ＾4－４ｘ＾3ｙ＋６ｘ＾2ｙ＾2－４ｘｙ＾3＋ｙ＾4・・・※
のように「２つ以上の項の和」で作られている文字式を「多項式」と言います。
この式を「ｘについて着目」すると、次数は４（４次式）であり、「多項式」の場合の「次数」は、各項の中でその着目した文字が最も多くかけられているものを指します。
また、このような０以上の整数乗で表されている式を「整式」と言います。
※は
ｘについての「降べきの順」（次数の高い順の和で表されているもの）
ｙについての「昇べきの順」（次数の低い順の和で表されているもの）
とも言い、
「ｘについて着目」すると、
各項の「係数」は
ｘ＾4の項の係数⇒１
ｘ＾3の項の係数⇒ー４ｙ
ｘ＾2の項の係数⇒６ｙ＾2
ｘ の項の係数⇒ー４ｙ＾3
となり、
ｙ＾4を「定数項」と言います。
数学では様々な用語が出てきますが、それを覚えるのも数学を理解するための大切な要素となります。
ではでは、次回更新は少し間を空けて１０月６日頃を予定しています。
それではまた！
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