こんにちは！
台風１１号が迷走し、きのうは沖縄本島に接近しました。
今那覇は晴れていますが、一旦先島諸島の南で停滞した後、また北上するようです。
９２０hPa、中心付近の風速５５ｍ、最大瞬間風速７５ｍの猛烈な台風。
なるべく人のいないところを通過してくれることを願うばかり・・・
さて、今日は前回の続きからです。
①(ｘ＋ｙ)＾2＝ｘ＾2＋２ｘｙ＋ｙ＾2
これを、場合の数で考えてみます。
（ｘ＋ｙ）＾2
＝（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）
とすると、
左のカッコの中のｘ、ｙ、から１個
右のカッコの中のｘ、ｙ、から１個
それぞれ一個ずつ選ぶことになるので
同類項をまとめる前は２＾2＝４項であり、それぞれのカッコの中から
ｘを２個選ぶのは2C0（２個の内ｙを１個も選ばない）で１通り
ｘを１個ｙを１個選ぶのは2C1 で２通り（ｘｙとｙｘの２通り）
ｙを２個選ぶのは2C2 で１通り
よって
（ｘ＋ｙ）＾2
＝2C0ｘ＾2＋2C1ｘｙ＋2C2ｙ＾2
＝ｘ＾2＋２ｘｙ＋ｙ＾2
（１＋２＋１＝４項）
となっていることが分かります。
またここで、ｘ＾2も、ｘｙも、ｙ＾2も
２個の文字がかけられている項であることも確認します。
（最初は文字で確認をします）
では
（ｘ＋ｙ）＾3
はどうなるでしょう。
（ｘ＋ｙ）＾3
＝（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）
とすると、
上と同様に
同類項をまとめる前は２＾3＝８項であり、それぞれのカッコの中から
ｘを３個選ぶのは3C0（３個の内ｙを１個も選ばない）で１通り
ｘを２個ｙを１個選ぶのは3C1 で３通り（ｘｘｙ、ｘｙｘ、ｙｘｘの３通り）
ｘを１個ｙを２個選ぶのは3C2 で３通り
ｙを３個選ぶのは3C3 で１通り
よって
（ｘ＋ｙ）＾3
＝3C0ｘ＾3＋3C1ｘ＾2ｙ＋3C2ｘｙ＾2＋3C3ｙ＾3
＝ｘ＾3＋３ｘ＾2ｙ＋３ｘｙ＾2＋ｙ＾3
（１＋３＋３＋１＝８項、すべての項が３個の文字の積）
１，２，１
１，３，３，１
と出てきました。
当然
（ｘ＋ｙ）＾4
＝4C0ｘ＾4＋4C1ｘ＾3ｙ＋4C2ｘ＾2ｙ＾2＋4C3ｘｙ＾3＋4C4ｙ＾4
＝ｘ＾＋４ｘ＾3ｙ＋６ｘ＾2ｙ＾2＋４ｘｙ＾3＋ｙ＾4
（１＋４＋６＋４＋１＝１６項、すべての項が４個の文字の積）
となります。
パスカルの三角形の並びと同じですね♪
これが「二項定理」
（ｘ＋ｙ）＾n
＝nC0ｘ＾n＋nC1ｘ＾n-1ｙ＋nC2ｘ＾n-2ｙ＾2＋・・・＋nCn-1ｘｙ＾n-1＋nCnｙ＾n・・・①
（nC0＋nC1＋nC2＋・・・＋nCn-1＋nCn＝２＾n項※、すべての項がｎ個の文字の積）
と言われるものの基本の考え方です。
場合の数が基本になっていることが良く分かるかと思います。
これも２乗、３乗、４乗と同様に（ｘ＋ｙ）をｎ個
（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）・・・・・・（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）
と横並びにすると分かりやすいですね。
場合の数を用いて
ｎ個のカッコの中から
ｘをｎ個選ぶのはnC0通り（ｎ個の内ｙを１個も選ばない）
ｘをｎ－１個ｙを１個選ぶのはnC1 通り
ｘをｎ－２個ｙを２個選ぶのはnC2通り
・
・
ｘを１個ｙをｎ－１個選ぶのはnCn-1 通り
ｙをｎ個選ぶのはnCn通り
となることから①が成り立つことが分かります。
この「二項定理」、以前はⅠA「場合の数」の後半で説明されていたものが、課程が変わりⅡBに移ってしまいました。
ⅠAの最初には（ｘ＋ｙ）＾3 の公式も出てきます。表面的に暗記しろとでも言うのでしょうか。まったく意味不明です。
「二項定理」はとてもとても大切なものですので、しっかりと身に付けておいてください。
と、今日はここまでとし、次回はこの二項定理を用いてお話を進めていきます。
季節講座中はどうしてもハードな日程のため、かなり短めになりました。
次の更新は、９月１５日頃の予定です。
それではまた！！