こんにちは！
数學舎は今日で１学期の授業が終了。
２５日から夏！夏！夏期講座！
が始まります！！
さて、後半には灘中の解答もあるので、今日は「場合の数」を少しだけ。
「３人を横に並べる場合の数」は
３×２×１＝６
これを３！（３の階乗）と書きます。
例えば１チーム９人で野球をするときの打順の決め方は
９！＝３６２８８０（通り）
ビックリ！
！の記号にビックリ（感嘆符：エクスクラメーション）の意味はありませんｗ
「１０人の中から、班長、副班長、書記を順番に選ぶ場合の数」は「順列」を用い
１０×９×８＝７２０
これを10P3と書きます。
読み方は「パーミテーション１０の３」でも「１０ピー３」でも構いません。
「１０人の中から委員３人を選ぶ場合の数」は「組み合わせ」を用い
（１０×９×８）/（３×２×１）
（分子１０×９×８、分母３×２×１の分数）
順列の場合の数を、３人の並び順の場合の数で割ったものになります。
これを10C3と書きます。
読み方は「コンビネーション１０の３」でも「１０シー３」でも構いません。
またnCr＝nCn-r，nCn＝nC0＝１，0C0＝１となります。
nPr＝ｎ！/（ｎ－ｒ）！
nCr＝ｎ！/ｒ！（ｎ－ｒ）！
も併せて覚えておいてください。
次に
〇〇〇〇〇
の中に＋か－のどちらかを入れた場合、
一つの〇に２通りの入れ方があり、５個の〇では
２×２×２×２×２＝３２（通り）
を「重複順列」と言い
２＾5（２の５乗）
の計算ができます。
１〇２○３○４○・・・〇９
で、＋、－、×、÷の４つを入れる場合は、〇が８個あるので
４＾8＝６５５３６（通り）
小町算の場合
５＾8＝３９０６２５（通り）
これだけの数から成り立つものを考えるのですから、難しい訳です。
これまでの記事の式で、良く分からなかった、と言う人はこれらを参考にしてください。
このあとはこれらが、式の展開にどのように使われ、どのように発展していくのかを学んでいきたいと思います。
次回更新は８月４日頃の予定です。
それではまた！
前回の問題の解答（考え方）：解①、解②の２つの解法を掲載します。
尚、この解法は【数學舎】独自の解法であり、入試本番やこの問題を利用した練習時の子供たちの脳の動きを捉えた説明となっています。
よって、下の解答は一気に見るのではなく、１行ごと何かに気付いたら自分で解く、のようにお使いください。
１ １ ・・・１段目
１ ２ １ ・・・２段目
１ ３ ３ １ ・・・３段目
１ ４ ６ ４ １ ・・・４段目
１ ５ 10 10 ５ １・・・５段目
11×11＝１２１，11×11×11＝１３３１
11×11×11×11＝１４６４１
11×11×11×11×11＝１６１０５１
１００段目は
１ １００ ・・・・・・・・・・ ７５２８７５２０ ３９２１２２５ １６１７００ ４９５０ １００ １
ヒントはこれだけで「１００個の１１をかけた数の下6桁を求める」問題です。
解①（やや難：解答時間３～５分）
どうしても気付かない人はただ眺めていても仕方ないので
１４６４１×１１のひっ算をしてみましょう。
１４６４１
× １１ １４６４１ １４６４１
ここで普通に計算をすると
１６１０５１
ですが、よく見るとこの答えは
「繰り上げをした結果」です。
では「繰り上げをせず」縦にたし算をした場合は？
１ ５ １０ １０ ５ １
ですね。これらのことと
ひっ算で縦に繰り上げをせず計算したものは、隣通しの数をたしたものと同じ！
と「気付く」ことも必要です。
では、
１ ５ １０ １０ ５ １
から１６１０５１を作るには？ 「繰り上がり」は１０の集まりができることで行われます。
一番上の位の１に０を加えて、桁を揃えて次の５を書いてみましょう。 １０|←ここを ５| 揃える
次は
１０
５０|←ここを揃えると
１０|←６＋４の繰り上がりと桁が揃う
同じことを繰り返します。
１０
５０
１００
１００
５０
＋ １
１６１０５１
できました♪
１６１０５１×１１＝１７７１５６１
と６段目でも成り立つのでしょうか？
（時間がない場合ここは省略！）
１ ５ 10 10 ５ １・・・５段目
１ ６ 15 20 15 ６ １・・６段目
１０
６０
１５０←5＋10の繰り上げ
２００←10＋10の繰り上げ
１５０←10＋5の繰り上げ
６０
＋ １
１７７１５６１
♬・・と言うことは・・・
１００段目でもできるのではないか？
と、「予測」をして計算するだけです。
７５２８７５２００
３９２１２２５０
１６１７０００
４９５００
１０００
＋ １
・・・・・・・４４６００１
（解答終わり）
解②（易しい：解答時間２～３分）
１，１や１，２，１の横並びの数字を１１や１２１にすることは位取りと同じなので
小３で学ぶ「位取り（記数法）」で表してみましょう。
（一、十、百、千、・・・の下に数字を書く「位取り」表でもOK）
１，１（十が１個、一が１個）⇒１０×１＋１×１＝11
・
・
１，４，６，４，１（一万が１個、千が４個、・・・）
⇒１００００×１＋１０００×４＋１００×６＋１０×４＋１×１＝１４６４１＝11×11×11×11
同じことが５段目でもできるでしょうか？
１，５，１０，１０，５，１（十万が１個、一万が５個、千が１０個、百が１０個、・・・）
⇒１０００００×１＋１００００×５＋１０００×１０＋１００×１０＋１０×５＋１×１
＝１０００００＋５００００＋１００００＋１０００＋５０＋１
＝１６１０５１
11×11×11×11×11＝１６１０５１
の結果と同じです！
これを見ると、右から６番目の数には０を５つ※、右から５番目は４つ、・・・
付け加え、その和を求めれば良いので（※このとき７５２８７５２０は不要と気付く子もいます）
与えられた数でもできると「予測」し
７５２８７５２００００００
３９２１２２５００００
１６１７０００００
４９５０００
１０００
＋ １
・・・・・・・４４６００１
（解答終わり）
１００段目を答えさせる、と言うことは何らかの「規則性」があるはず、と瞬間的に捉え、考え切る力は普段からの「学び」の中で作られます。
解②の方が圧倒的に簡単ですが、でも、もし気付かなかったら実際に計算してみる。なども入試では最重要の力。これも普段の「学び」の中で経験しておくことです。
そして、「必ず過去に学んだことを用いて」問題は作られ、解けるようになっています。
ただ、そのためには、そのときに使える「何か」に「気付く」必要があるのです。
結局、解①も解②も、小３で「大きな数」を学んだあとならば、「繰り上がり」や「位取り（記数法）」で解くことができる簡単な？問題でした。
どうでしょう。楽しんでもらえましたか＾＾
「中学受験算数」ではこのような、「古い数学に共通する要素を持つ」問題があります。
その要素の一つが「正しく予測できるか」です。
古いとは言っても、数学に「証明」が必要とされるようになったのは「数学の歴史」からすればまだ最近のこと。
数学では、何らかの事象に「気付き」「検証を経て（論拠を得て）」「正しく予測」する「脳力」も求められます。
そういう意味でも、「灘中らしい問題」と言えるでしょう。
しかし残念ながらこの問題は、今後定番にはならないタイプの問題に当たります。
定番にならないものには大きく分けると２種類。
１，算数から完全に逸脱したもの
２，良問であっても応用がききにくいもの
この２です。
この問題は「答えの出し方だけ」を教えてしまうと意味がありません。
問題を見たときに「どう捉え、解き方を導き出すか」が重要になっています。
さて、次は「数学」で解いてみてください♬
何を用いれば解けるのでしょう？
もう気付いている人が多いと思いますが・・・
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