こんにちは！
では、オマケ問題の詳しい解説をどうぞ♪
【オマケ問題】
数字を次のように並べます。
１，２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，５１２，１０２４，２０４８，・・・
これを、１番目は１、２番目は２、３番目は４、・・・
７番目の６４は６＋４＝１０、１＋０＝１のように、各位の数字を足し続け、１桁の数字として表します。よって７番目の数字は「１」となります。
１２番目の２０４８は２＋０＋４＋８＝１４、１＋４＝５。よって「５」となります。
では、１００番目の数字はいくつになるでしょう。
この問題の数の並び方は、１，２，４，８，７，５の、６個の数字の繰り返しになっていました。
なぜこのような繰り返しになるのでしょう。
まずはこの
１，２，４，８，１６，３２，６４，１２８，・・・・①
と言う数字を、累乗の形で表してみます。
累乗の形とは、同じ数字（や文字）を何回かけたかを示す表し方です。
本来数字の右肩に小さくそれ（何回かけたか）を書きますが、ここでは「べき乗」の表し方で示します。分かりやすいようにかけ合わせる回数を表す数字を小さくします。
例えば
２を２回かけ合わせたときは、２×２＝２＾２（２の２乗）
２を３回かけ合わせたときは、２×２×２＝２＾３（２の３乗）
２を４回かけ合わせたときは、２×２×２×２＝２＾４（２の４乗）
のようにします。
つまり、上の①の並びは、
１，２＾１，２＾２，２＾３，２＾４，２＾５，２＾６，２＾７，・・・
となります。
２＝２＾１と表せることは分かると思いますが、１はどのように表せば良いのでしょう。
ここから少し難しいですが、良く読んで欲しいところです。
ａ＾２×ａ＾３（ａの２乗かけるａの３乗）はａの何乗になるでしょうか。
ａの２乗はａ×ａ
ａの３乗はａ×ａ×ａなので、
ａ＾２×ａ＾３＝（ａ×ａ）×（ａ×ａ×ａ）＝ａ＾５となりますね。つまり
ａ＾ｍ×ａ＾ｎ＝ａ＾(ｍ＋ｎ)
（ａをｍ個かけたものとａをｎ個かけたものはａをｍ＋ｎ個かけたものと等しい）
とすることができます。これは数学ではとても大切な考え方です。
では、
ａ＾６÷ａ＾２（ａの６乗わるａの２乗）はａの何乗でしょう。
ａの６乗はａ×ａ×ａ×ａ×ａ×ａ
ａの２乗はａ×ａなので、
ａの６乗のａ×ａ×ａ×ａ×ａ×ａを分子
ａの２乗のａ×ａを分母
と考えると、ａが２個約分されてａが４個残ることが分かります。
つまり、
ａ＾６÷ａ＾２＝ａ＾(６ー２)＝ａ＾４
となりますね。
この、かけ算やわり算で利用する計算を、「指数法則」と言います。
累乗の乗除計算で指数部分は、かけ算はたし算、わり算はひき算になることを示しています。
このことを用いると、例えば
ａ＾３÷ａ＾３＝ａ＾０
同じもの（上ではａ＾３）をわり算すると答えは１ですから、
ａ＾０＝１
と表すことができます。
（わり算の考え方を用いるので、ａには０「ゼロ」を定義付けません。※）
高校数学では、マイナス乗も出てきます。
これも、上の考え方を用い、例えば
ａ＾２÷ａ＾６＝ａ＾ー４（ａのマイナス４乗）は
１/ａ＾４（ａの４乗ぶんの１）となります。
今回はここは不要なので、説明は省略しますが、
①ｎ＞ｍのとき
ａ＾ｎ÷ａ＾ｍ＝ａ＾(ｎ－ｍ)
②ｎ＜ｍのとき
ａ＾ｎ÷ａ＾ｍ＝１／ａ＾(ｍ－ｎ)
③ｎ＝ｍのとき
ａ＾ｎ÷ａ＾ｍ＝ａ＾(ｎ－ｍ)＝ａ＾０＝１
となります。もちろんこれも数学ではとても大切なので、指数のかけ算と共に覚えておいて欲しいものです。
さて、これで上の①の並びは、
２＾０，２＾１，２＾２，２＾３，２＾４，２＾５，２＾６，２＾７，・・・
となることが分かりました。
ここでもう一つだけ指数法則の計算を紹介します。
（ａ＾２）＾３はａの何乗になるでしょう？
（ａ＾２）が３回かけ合わされるのですから、
（ａ＾２）＾３＝（ａ＾２）×（ａ＾２）×（ａ＾２）
＝（ａ×ａ）×（ａ×ａ）×（ａ×ａ）
＝ａ＾６
同様に、（ａ＾ｍ）＾ｎはａ＾ｍがｎ回かけ合わされるので
（ａ＾ｍ）＾ｎ＝ａ＾ｍｎ
となります。
これでようやく今回の問題の解説の基礎ができました。
では、すでに気付いた方もいると思いますが解説していきましょう。
この問題の意味から、前回計算した結果から
１＝１
２＝２
４＝４
８＝８
１６＝７
３２＝５
６４＝１
としていたものを、指数を用いて表すと
２＾０＝１
２＾１＝２
２＾２＝４
２＾３＝８
２＾４＝７
２＾５＝５
２＾６＝１
となります。
ここで、例えば
２＾７＝２＾(６＋１)＝２＾６×２＾１
２＾６＝１なので
２＾７＝１×２＾１＝２
同様に
２＾８＝２＾６×２＾２
＝１×２＾２＝４
この問題の並びは１＝２＾０から始まっているので１００番目は２＾９９であり、
このあともすべて２＾６＝１であることを用いると、１００番目の数字は
２＾９９＝２＾(６×１６＋３)
＝（２＾６）＾１６×２＾３
＝１＾１６×８
＝１×８（１＾１６＝１なので）
＝８
との答えが導き出されます。
これは更に、文字で表すとすっきりします。
２＾６＝１より、ｎを１以上の整数とし、
２＾６ｎ＝（２＾６）＾ｎ＝１＾ｎ＝１
また、ｎ＝０のとき
２＾６ｎ＝２＾０＝１より
０以上の整数ｎにおいて２＾６ｎ＝１が成り立つ。
ここで
ｋ＝０，１，２，３，４，５とすると、
２＾(６ｎ＋ｋ)＝２＾６ｎ×２＾ｋ
＝１×２＾ｋ
＝２＾ｋ
よってこの数列はｋ＝０，１，２，３，４，５
すなわち
２＾０＝１
２＾１＝２
２＾２＝４
２＾３＝８
２＾４＝７
２＾５＝５
の６つの数字の並びですべてを表すことができる。
（解説終わり）
さて、いかがでしたか。
単純な６つの数字の並びとなっていることには気付いても、数学的な論証に思い至るまでにはたくさんの知識と更なる気付きを必要とします。
とくに今回の問題は、答えが分かっても、各位の数字をたし続けて１桁の数にしただけで、なぜこんな規則性が生まれるのか不思議に思いませんでしたか？
算数では「気付いて答えを出す」だけで済みますが、数学では「なぜそうなるかの証明」も必要とします。
なんでだろう、不思議だな、と思ったことを、更に深く考えていくことも数学の楽しみ方の一つです。これまでのブログでも、あまり一般的には知られていないことを深堀しているものもありますので、楽しんでみてください。
次回更新は５月３０日（木）頃を予定しています。
それではまた！
※０の０乗（０＾０）について（今回かなり長いので簡単に）。
「純粋な０そのもの」の「純粋な０そのもの」乗はやはりできません。定義付けどころか「できない」のです。
本当に簡単に言えばこれで終わりです。
が、さすがにそれでは納得がいきません。
そこで数学では、「限りなく０に近い」ものとして、「極限」と言う概念を用いることにしました。
その前に、
例えば、実数範囲において（A≠０かつBが整数でも成り立ちますが、整数範囲における論は省略します）AのB乗（A＾B）は、
A＜０のときには「連続性」がないため考えません。
例：A＝ー３、B＝１/２のとき
√ー３＝√３i（ i は虚数単位√ー１）
（A＾１/２×A＾１/２＝A＾(１/２＋１/２)＝Aより、A＾１/２＝√A）
となるようなことを「実数範囲において連続性がない」ものとします。
よってAのB乗（A＾B）は、
A＝０のときはB＞０として考え、A＞０のときはBは実数全体で考えます。
（A＝０のときB＜０とすると、Aが分母になるのでできません）
このとき
A＝０かつB＞０のときは、Bがどのような値としても（例えばBをプラスの方向から限りなく０に近づけても）０になります。
A＞０のときには、A＾Bは様々な値を取ります（不定形と言います）。
ここを詳しく書くと長くなりますので、下の①だけ理解できれば構いません。
①A＞０かつB＝０のときは、Aがどのような値としても（例えばAをプラスの方向から限りなく０に近づけても）１になります。
②A＞０かつB≠０のときは実に様々です。
一般的には、A、Bには同じ文字（例えばｘなど）を用いた様々な式を入れ、その文字をプラスの方向から０に近付ける、と言う試みをします。
Aに与える式とBに与える式によって、もちろん０や１にも収束させることもできますが、＋∞（無限大）に発散させることも、ある適当な好きな値に収束させることもでき、逆に収束させないように（振動）することも可能です（収束とは、限りなくその値に近づくことを表します。発散や振動、収束は数学として大切な用語ですが、ある程度言葉通りに捉えて構いません）。
これらのことから、０の０乗を一つに定義付けることはできません。
が、一般的に０の０乗（０＾０）を１とすると数学上都合が良いことが多いので、
０＾０＝１
と定義付ける場面が多く見られると言うことになります。
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