「特別企画」の問題の「解答・解説」編 その２です。
それでは、解説を始めましょう。
解２
例えば、八百屋さんに「リンゴ」「ミカン」「梨」がたくさん売られています。
この３種類の果物から、好きな果物を計１０個買うこととします。
何通りの買い方があるでしょう。
これも、知識としておかないととても難しいですね。
どのように求めれば良いのでしょう。
「リンゴ」「ミカン」「梨」の置き場所を、仕切りで作ります。
３種類あるので、仕切りは２つあれば大丈夫です（３－１＝２）。
｜ ｜
↑ ↑ ↑
リンゴの場所 ミカンの場所 梨の場所
この３か所に、果物を１０個の〇で表し、置いてみましょう。
〇〇〇｜〇〇｜〇〇〇〇〇
例えばこのように置いた場合は、
リンゴ３個、ミカン２個、梨５個を買ったことになります。
〇〇〇〇｜〇〇〇〇〇｜〇
この場合は、リンゴ４個、ミカン５個、梨１個
〇〇〇｜｜〇〇〇〇〇〇〇
この場合は、リンゴ３個、ミカン０個、梨７個
ですね。
この、〇と｜を
１０個の〇と２本の線の並び順と考えるとどうでしょう。
解１でも用いた計算
12C10（＝12C2）や、
１２！/（１０！×２！）
が、成り立つことが分かると思います。
答えは６６通りですね。
では次に、上と同じ問題で、３種類の果物をそれぞれ少なくとも１つは選ばなければいけないものとしたら、どうすれば良いでしょう。好き嫌いがあってはいけませんよね。
そのときは、「リンゴ」「ミカン」「梨」を１個ずつ、先に取っておけば良いのです。
つまり、
１０－３＝７（個）
７個は自由に選んで良いことになります。
仕切りは同じ２つで良いので、
７＋２＝９
よって、計算は
9C7（＝9C2）や、
９！/（７！×２！）
が成り立ちます。
答えは３６通り、となります。
さて、この考え方が、今回のサイコロの問題に、どう関係するのでしょうか。
サイコロの目は１～６までです。
０（ゼロ）はありません。と言うことは、果物の問題では、少なくとも１個ずつは買う、方の問題と同じことをすれば良いことが分かります。
和を１２とすることを考えると、
１２－６＝６
これで、６個のサイコロすべてで０（ゼロ）にはなりません。少なくともすべて１の目は出ることになります。
しかし、今度はサイコロの目の上限が６であることが問題です。
６個のサイコロですから、仕切りを５つとして考えます。
｜｜｜｜｜
↑↑↑↑↑↑
今、この６か所には、すでに１ずつ入っています。
ここに残りの６を、１か所に全部入れると・・
１＋６＝７？？
和を１２とすることを考えると、例えば
１，１，１，１，１，７
のようになってしまいます。
この、絶対にあり得ない場合の数は、７の場所を入れ替えれば６通りです。
つまり、果物の問題と同じ計算をしたあと、この６通りを引けば、答えが求められる！
１２ー６＝６（サイコロ６個に１ずつ与える）
仕切りの数は、
６－１＝５
６＋５＝１１
11C6＝11C5（６個の〇と５本の線の並び順）
＝（１１×１０×９×８×７）/（５×４×３×２×１）
＝４６２（通り）
４６２ー６＝４５６（通り）
出ました！！
今回の問題に限れば、わざわざこの「解２」を用いる必要はありません。
しかし、「サイコロ６個で目の数の和が１１」までは、できないものを引く必要もなく一瞬で答えが出せます。
１１－６＝５（０はない）
６－１＝５（仕切りの数）
５＋５＝１０
10C5＝２５２（通り）
実は、サイコロが何個だとしても、目の数の和が、そのサイコロの個数に５を足したものまでは、この計算で求めることができるのです。
例えば
「サイコロｎ個を同時に投げたとき、目の出方は６のｎ乗通りと考えます。
ではその内、出た目の数の和がｎ＋５となる場合の数は、何通りになるでしょう。」
のような問題は、
＝n(n＋１)(n＋２)(n＋３)(n＋４)/１２０（通り）
のように、美しい答えを一瞬に出すことができます。
（手順通り式を立ててみてください）
これを解１で解こうとすると・・・
上のような仕切りの考え方を用いて得られたような、すっきりとした答えの形にはなりません。まとめるにはかなり大変な式になります。
また更に、今回の「サイコロの個数＋６」よりも計算は少し複雑になりますが、目の数の和が、サイコロの個数＋１１までは今回の問題と同じひき算の考え方が利用できます。
長くなり過ぎたので、残念ながらこの解説は省略します。
さて、この「仕切り」と同じ考えを用いる問題は、見た目でなかなか気付かない問題にも良く使われます。
ほんの少し、もしかして、これ「仕切り」使える？
のように、頭をめぐらせるとあっさり解ける問題が、所謂「難関大」と言われる大学入試数学では数多く出題されているのです。
この先大学受験を考えている方は、できれば身に付けておきたい解き方の一つと言えるでしょう。
このお話は、ブログ「算数と数学９」にも少し載せていますので、ぜひ読んでみてください。
それではまた！！
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