さて、今日は２月１日（水）「特別企画」の問題の「解答・解説」編 その１です。
前回の、X、Y、Zの問題は「少しの知識」と「気付けば答えられる問題」でしたが、今回の問題は大学入試でも重要な「知識とその計算が必要な問題」でした。
では、解説を始めましょう。今回、解説を２回に分けて行います。
「解答・解説」編 その２もぜひご覧ください。
さて、まず
「サイコロ６個を同時に投げたとき、目の出方は６の６乗＝４６６５６通りと考えます」
と言うことは、例えばサイコロ２個を同時に投げたとき、目の出方は６の２乗＝３６通りと考える問題と同じく、例えば目の数の和が３の場合などは、１，２と出る場合と２，１と出る場合の２通りと数えなければいけない、と言うことを示しています。
これを前提として、大きく分けて２通り（解１＝その１、解２＝その２）の解答があります。
この先、組み合わせの記号→ nCr や、順列の記号→ nPr 、階乗の記号→！、を用いて話を進めていきますので、これらの簡単な説明は
ブログ「算数と数学１１」
を読んでおくと分かりやすいかと思います。
解１
和が１２になる組み合わせをすべて書き出します。
１，１，１，１，２，６⇒A
１，１，１，１，３，５⇒A
１，１，１，１，４，４⇒B
１，１，１，２，２，５⇒C
１，１，１，２，３，４⇒D
１，１，１，３，３，３⇒E
１，１，２，２，２，４⇒C
１，１，２，２，３，３⇒F
１，２，２，２，２，３⇒A
２，２，２，２，２，２⇒G
A⇒４つの同じ数と、あとは２つの違う数
B⇒４つの同じ数と、２つの同じ数
C⇒３つの同じ数と、２つの同じ数と、残り１つ
D⇒３つの同じ数と、あとは３つの違う数
E⇒同じ数が３つずつ
F⇒同じ数が２つずつ
G⇒すべて同じ数
Gは簡単ですね。１通りです。
A～Fの場合の数の求め方には、２つ（下のa、b）の計算方法があります。
解１ーa
６個の枠を考えます。
□□□□□□
この６個の□の中に、順に数を入れていく計算を行います。
Aのタイプはまず、同じ４つの数字を、６個の枠の内、どこに入れていくかの計算が
6C4＝6C2＝(６×５)/(２×１)＝１５（通り）、
残りの２個の枠に、異なる数字を入れるので、
2P2または２！の計算
2P2＝２！＝２×１＝２（通り）
この２つをかけることで、Aのすべての場合の数が求められます。
6C4×2P2＝１５×２＝３０（通り）
となります。
Bは、同じ４つの数字を、６個の枠の内、どこに入れていくか、で、残りは決まりますので（同じ２つの数字を、６個の枠の内、どこに入れていくか、でも構いません）、
6C4＝6C2＝１５（通り）
以下同じように考えて
C⇒6C3×3C2
＝(６×５×４)/(３×２×１)×(３×２)/(２×１)
＝２０×３＝６０（通り）
D⇒6C3×3P3
＝２０×６＝１２０（通り）
E⇒6C3
＝２０（通り）
F⇒6C2×4C2
＝１５×６＝９０（通り）
Aのタイプは３つ、Cのタイプは２つ、B，D，E，Fは１つずつ、そしてGの１通りをすべて加えると
３０×３＋６０×２＋１５＋１２０＋２０＋９０＋１
＝４５６（通り）
答えが出ました。正解は
①の４５６通り
と分かりました♪
解１ーb
例えば
BANANA
と言う文字の並びを考えます。
アルファベット順にすると
AAABNNとなります。
これを、AとNの同じ文字に対し、
A1、A2、A3、N1、N2
と、それぞれ違う文字と考え、これにBを加えた６個の文字の並び順は
６！の計算となります。
しかし、実際は
A1A2A3BN1N2も
A1A3A2BN1N2も
A1A2A3BN2N1なども、すべて同じ
AAABNNです。つまり、
６！の計算には
A1A2A3の並び順の
３！通り
N1N2の並び順の
２！通り
の、３！×２！通り、余計に数えてしまっていることになります。
これは、
AAABNNと並べても、AAANBNと並べても、どのような並べ方でもすべて
３！×２！通り、余計に数えています。
よって、
６！/(３！×２！)
の計算を行うことで、求める場合の数を出すことができます。
この方法を用いると
A⇒６！/４！
＝３０（通り）
B⇒６！/(４！×２！)
＝１５（通り）
C＝６！/(３！×２！)
＝６０（通り）
D＝６！/３！
＝１２０（通り）
E＝６！/(３！×３！)
＝２０（通り）
F＝６！/(２！×２！×２！)
＝９０（通り）
あとは、Gの１通りを忘れずに、解１ーaと同じ計算をすれば良いことになります。
この、解１は、a、bの計算も含め、この先大学受験で数学が必要な人は、必ず覚えておかなければいけないものになります。
現行課程では、高校数学ⅠAの範囲「場合の数・確率」の単元に入っています。
さて、次に、解１とはまったく異なる解き方もあります。
それは・・・
特別企画：「解答・解説」編 その２
で、紹介します。
併せてお楽しみください♪