こんにちは！
梅雨入りしてから１週間ほど経ちました。
沖縄では、那覇ハーリー頃に梅雨に入り、糸満ハーレー鉦が鳴ると梅雨明け、とも言われていますが・・・
今年もどちらも中止となり、寂しい限りです。
那覇ハーリーには何度か出させてもらいましたが、、終わった後のひーじゃーくぁいがまた最高！
来年こそは各地みな開催されることを心より願っています。
さて。これまで
①１○２○３○４○５○６○７○８○９＝１
②１○２○３○４○５○６○７○８○９＝１０
を用いてお話を進めてきました。
この問題・・・
なんかどこかで見たことがあるような・・と思った方がいるかもしれません。
知っている方であれば
「小町算」を少し変えただけのもの、のようにも見えたでしょう。
「小町算」とは
１～９までの並び順を変えず、数字の間に＋、－、×、÷、を入れるか、一部は何も入れずに、隣り合った数字を２桁以上にして用い、
結果を「１００」にする、古くからある遊びです。
簡単な例を挙げると
1⃣１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８×９＝１００
2⃣１２＋３＋４＋５－６－７＋８９＝１００
など、「数字をくっつけても良いことで様々な解が得られる」と言うことが「小町算」の大きな特徴です。
カッコを用いたり、９～１までの逆順で１００を作る、右辺を０や他の数字に変えてみる、など、「小町算」から派生したものがたくさんあります。
なぜ「小町算」と言われるようになったかは諸説ありますが、「小野小町」の名に由来していることは確かなようです。その中の「美しいから」との説には納得するかもしれません。
この「小町算」のもう一つの特徴が、
「方程式などとは違い、ひたすらトライ＆エラーで答えを探すしかない」
と言われていることです。
その解の総数は・・・
１９６１年（日本では１９６２年）公開のディズニー映画（アニメ）の題名にある数と同じですｗ
１９９６年（日本では１９９７年）には実写版が公開されています♪
これだけの組をすべて見つけるのは至難の業。
でも２，３個見つけただけではどうにもスッキリしない。もう少しやってみようか・・
と、はまる人が少なからずいるわけです。
う～ん。
この「小町算」、本当にただ「闇雲に」試すしかないのでしょうか。
では
「小町算」を、『これまでの記事を参考に』少しトライしてみましょう。
例えば2⃣のような形を作るために、８９から始めてみます。
８９には＋８９（正の８９）と－８９（負の８９）がありますが、正の８９で検証します。
１００と８９との差は１１（奇数）
８と９以外の残りの数字、１～７までの和は２８（偶数）
（↑偶奇を確かめるだけであれば、残りの数字の奇数の個数を数えるだけでも構いません）
よって、そのまま１～７をバラバラで使っても「絶対に」できない（検証不要）。
↑
２数の和と差の偶奇を確かめることででエラーの回避！
つまり、奇数→偶数への変換が「必ず」必要です。
例えば
・１と２（奇数１個）を１２や１×２（奇数１個→偶数）にする。
２と３と４を２３４、２３×４、２×３４、２×３×４にする、なども同じですね。
・１と２と３（奇数２個）を１２３、１×２３（奇数２個→奇数１個）にする。
・１と２，３と４、５と６（奇数３個）を、１２や１×２などのすべて偶数（奇数３個→偶数）にする。
などなどを、この先「偶奇変換」と呼ぶことにします。
上のように、偶奇が一致していない場合は「偶奇変換」を行い、偶奇が一致している場合は偶奇が変わらないように（「偶奇変換」を０回、２回などの偶数回行い）検証を行えば良いことに気付きます。
数字をくっつけたり、積や商（※1）を作る、のあとには、必ずたしひきで「解」を得ることになるので、この「偶奇」に常に注意することで無駄な努力が格段に減ります。
さて、では８９（正）と１２（１２×、１２÷を除く単独）でできるかやってみましょう。
１２と８９の和が１０１
１００との差が１（奇数）
残りの３～７までの和が２５（奇数）
よって「検証可能」（当然です）。
（２５－１）÷２＝１２
↑
和差算！
（常に小さい方を求めた方が楽です）
このことから３～７までの数字の組で（１２と８９以外で）
正の和１２（負の和１３）となるものが「あれば」可能。
↑
１０１は１００より大きいので負の絶対値が大！
（絶対値と符号を分けて考えることで成り立っています）
結果、正の和の組を
（３,４,５）または（５,７）にすれば良い。
（必然的に負の和の組は（６,７）（３,４,６）と決まる）
↑
同符号の和は絶対値の和に共通の符号をつける！
例で示した2⃣が、「理論的に」解けてしまいました。
８９（正）と１２３（単独）とした場合はどうでしょう。
８９と１２３の和は２１２
１００との差は１１２（偶数）
４～７の和が２２の偶数なので検証可能ですが、バラバラでは小さすぎますね。
では、「偶奇変換」を使って出せるかやってみましょう。
〔１〕４と５、６と７の少なくとも一方を４５、６７にする（偶奇変換０回）
〔２〕４と５、６と７のどちらも４×５、６×７にする（偶奇変換２回）
〔３〕５と６と７を５６×７、５６÷７、５×６×７にする（偶奇変換０回）
〔４〕４，５，６，７を４５６×７、４×５６７、４×５６×７、４×５×６×７にする（偶奇変換０回）
（４～７の数字では、４５６７や４５×６７、４５６、４５×６、４×５６、４×５×６、５６７、５×６７、５６、５×６など、偶奇が変換されてしまうものは不可＝エラー数減少）
〔１〕４５と６７の和は１１２
あれ、、、？
和差算すら使わずできてしまいました。
１２３－４５－６７＋８９＝１００
確かにあっています。
なかなか美しい形ですね。
（４，５，６７や４５、６、７ではできないことがすぐ分かりますので省略しています）
〔２〕４×５＝２０、６×７＝４２
足りません。
〔３〕５×６×７＝２１０、５６×７＝３９２、５６÷７＝８
残っている数字は４しかないので、できる組はありません。
〔４〕はどう考えても無理と分かります。大きすぎます。
さてさて、このように
「２数の和と差の偶奇の一致による検証と、和差算で得られる数の組の有無」
と、下に簡単に示す「基本パターン※2」の組み合わせによって、「小町算」の解を求めることが可能となります。
三十数年前に紀伊国屋書店で調べたのですが、私の調べた限りこの「偶奇」「和差算」による考え方は見当たりませんでした。
もちろん、エラーが格段に減るとは言っても、偶奇の検証後、和差算の解となる数の組が存在しないこともあり、上のような地道な作業の繰り返しになってしまいますので、「簡単に出せるものを見つける」程度に考えると良いでしょう。
※1：商が「整数」ではない、２つの分数でできるものが１組だけあります。
これも「基本パターン」の一つです。
※2：「２３４が、そのあとの６や７８の倍数、４５６は８の倍数※3」
「４５６が２や３の倍数であることから、その前の２や３などを「わる」として利用できるか※4」
など、少なくとも３つ以上の数の組み合わせで積や商を作り、利用できるか調べることを、本来最初に行う「基本パターン」と呼んでいます。
例えば、５６がそのあとの７や８の倍数であることや、その前の２や４を利用できるか、なども上の※3、※4と同パターンです。
「基本パターン」にもいろいろありますが、「小町算の解法」を示したい訳ではありませんのでこの程度にしておきましょう。
ただ数字の組み合わせの不可思議さには驚くばかりで、「小町算」が「美しい」と言われるのも納得がいくと思います。
が、しかし・・・
「小町算」をそのまま用いても、やはりただの「遊び」にしかならず、まったく使えない・・・
と言うのも、数字をくっつけると言う
・２桁以上の数字を許すことで子供には複雑になりすぎること。
・２桁以上の数字を用いない場合、＋と－だけでは当然できず
＋と×を使うものが３組
＋と－と×を使うものが１１組
＋と×と÷を使うものが１組
の中途半端な１５組の解しかなく、＋、－、×、÷の四則を用いて得られる解がないこと。
などが「教える立場」からすると「美しくない」のです。
そこで考えたのが
①（＝１）と②（＝１０）の組み合わせと、２桁以上の数字の排除です。
とくに①は
＋と－だけでも
ミッキーといつもの仲間たちに、チップ、デール、クララベル、ピートの４人を加えた数だけできますし（途中負にならないものは２組）、
＋、－、×の組
＋、－、×、÷の組（四則計算）
も、カッコを使うことなくできます（お試しください。上の※1のタイプもありますよ！）。
これにより、
・小１～小４の計算の「学び」順に合わせ、使うことができる。
・①②の組み合わせから、２数(整数)の和と差の偶奇の一致が学べる。
・小４で①は和差算により解けることが学べる。
・計算でカッコの使い方を教えたいときには、その条件を加えるだけで良い。
→これにより学びと遊びのどちらにも使える※5。
・交換法則などの計算の工夫、計算のきまりなどにも応用できる。
・①は中１「正負の数」の正、負の認識～加法減法などにも使える。
ことから、
長く「学び」に使える問題として新たな命を吹き込み、①②をテキストに組み込んだのです。
なんと美しい！←自画自賛ｗｗｗ
「小町算」を少し変えただけ、、？
いえいえ。
「小町算」とはまったく意味が異なります。
「教える立場」であるからこそ生み出され、深い考察と検証を経て、自信をもって世に送り出した問題です。
（あくまでも①と②のセットで教えることが重要であり、②単独ではただの「暇つぶし」にしかならないことにも気付いていただけると嬉しいです）
※5：カッコ、＋、－、×、÷すべて使ったものには
（（（（（１＋２）×３－４）÷５＋６）÷７）＋８）÷９＝１などもあります。
こうなると完全に遊びの領域になりますね。
（カッコの条件は、数字の並びを変えなければどこにいくつでも使って良い、としています）
どうでしょう。少しは楽しんでいただけましたか？
（こんな面倒な頭が痛くなるようなブログ、誰が読むか・・と思いつつｗ）
さて次回からは、２週間に１回程度の更新といたします。
次は５月２６日頃、中学受験で良く出題される規則性の問題から、場合の数、式の展開・因数分解などを題材にお話を進めていこうと思っています。
では！
あ・・・ところで、
先々週、４月２８日「算数と数学６」の
卯の花のさける垣根に時ならでわがごとぞなく鶯の声
は、続古今集 巻十七：雑上（０１５４３）
「小野小町」作とされているものです。
う〜ん・・・ハーリーも好きだけど・・・やっぱりディズニーも行きたいなぁ・・・